Авраам Сергеевич Норов родился 22 октября 1795 года в селе Ключи Балашовского уезда Саратовской губернии в дворянской семье. Отец — отставной майор, саратовский губернский предводитель дворянства Сергей Александрович Норов (ум. 16 марта 1849); мать — Татьяна Михайловна Кошелева (ум. 23 ноября 1838). Получил домашнее образование. С 1807 года учился в Благородном пансионе при Московском Университете, который не закончил.
    10 марта 1810 года, сдав экзамены на звание юнкера, Норов был определён в Лейб-гвардии артиллерийскую бригаду. 30 июня 1811 года был произведён в портупей-юнкера, а 25 декабря 1811 года получил звание прапорщика. С первых дней участвовал в Отечественной войне 1812 года в составе 1-й Западной армии. В Бородинском сражении прапорщик 2-й лёгкой роты Лейб-гвардии артиллерийской бригады. Норов, командуя полубатареей из двух пушек, защищавших Семёновские (Багратионовы) флеши, был тяжело ранен в правую ногу (ему ядром оторвало ступню). Ногу пришлось ампутировать по колено (впоследствии арабы прозвали его «отец деревяшки»). За Бородино награждён орденом Св. Владимира 4-й степени. Несмотря на инвалидность, А. С. Норов не оставил военную службу и только в 1823 году, уже в звании полковника, перешёл на гражданскую службу. Занимал разнообразные должности по различным ведомствам.
    С 1827 года А. С. Норов служил в Министерстве внутренних дел. В 1830 году он занял место правителя дел и члена Комиссии принятия прошений на Высочайшее имя. В 1849 году был назначен сенатором и помощником главного попечителя Человеколюбивого общества.  1850 году — товарищем министра народного просвещения.
С 7 апреля 1853 по 23 марта 1858 года Норов был министром народного просвещения. При нём возросло количество студентов в вузах, была расширена программа преподавания по древним языкам, восстановлена практика командирования молодых учёных за границу (по избранию университетов). Авраам Сергеевич предпринимал попытки смягчения цензуры. Так, например, он ходатайствовал о дозволении придать огласке в печати обсуждение проекта судебных реформ, чему весьма противился министр юстиции граф В.Н. Панин. С 11 апреля 1854 года — член Государственного Совета. В 1856 году А. С. Норов возродил идею создания университета в Сибири, однако этот вопрос по ряду причин не был решён положительно. В 1856 году Норов получил чин действительного статского советника.
    В 1840 году А. С. Норов стал членом Российской академии, а в 1851 году за литературные и научные заслуги был избран действительным членом Императорской Санкт-Петербургской Академии Наук по отделению русского языка и словесности. В том же году Норова избрали председателем Археографической комиссии. Он также являлся членом Русского географического и многих других отечественных и зарубежных научных собраний и обществ.
    По свидетельству П. П. Семёнова, после своих путешествий Норов проживал в родовом имении, которое находилось в селе Нижний Якимец Раненбургского уезда Рязанской губернии.
    Все свободное время Норов отдавал литературе и истории, влечение к которым он испытывал с самого детства. Он много писал в стихах и в прозе. Ещё в 1816 году были опубликованы его первые переводы из Вергилия и Горация, а позднее переводы с подлинников из Анакреона и из классической итальянской поэзии: Ф. Петрарка, Л. Ариосто, Т. Тассо. Авраам Норов был полиглот, он владел английским, французским, немецким, испанским, итальянским, который знал до тонкостей, включая, например, сицилийский диалект, некоторыми славянскими (чешским и лужицким), латынью, древнегреческим, арабским, а также классическими и древнееврейским языками.
    Авраам Норов был страстный библиофил. Его книжное и рукописное собрание, состоявшее из 16 тысяч экземпляров, являлось одним из лучших в России. Оно включало в себя памятники XV-XIX веков, в том числе 155 инкунабул: редчайшее издание "Естественной истории" Плиния, первое иллюстрированное издание "Божественной комедии", подборку первых и прижизненных изданий Дж. Бруно и Т. Кампанеллы и множество других раритетов. В библиотеке Норова были книги по археологии, философии, русской, всеобщей и церковной истории, лингвистике, математике, астрономии, греческие, византийские рукописи, автографы выдающихся русских и иностранных учёных, а также государственных деятелей.
    А. С. Норов был вхож в литературные салоны Москвы и Санкт-Петербурга. Он не принадлежал ни к какой литературной партии и печатался в журналах и альманахах противоборствующих направлений, в частности в "Полярной звезде", "Сыне Отечества", "Русском инвалиде" и других периодических изданиях. Был дружен с ведущими литераторами: В.А. Жуковским, О.М. Сомовым, И.И. Дмитриевым, П.А. Вяземским, О.И. Сенковским, близок с А.И. Кошелевым и другими.
    В 1818 году Авраам Сергеевич был принят в "Вольное общество любителей словесности, наук и художеств", а в 1819 году — в "Общество любителей российской словесности". На заседаниях Вольного общества он познакомился с А.С. Пушкиным, общение с которым продолжалось в течение всей жизни последнего. Александр Сергеевич, во время работы над «Историей Пугачёва» пользовавшийся библиотекой Норова для исторических изысканий, был явно расположен к нему, обращаясь в письмах на «ты» и со словами «любезный полковник», «учёнейший собеседник», «честный человек, отличающийся благородством и душевной теплотой». На смерть Пушкина Авраам Сергеевич откликнулся стихотворением «Памяти Пушкина» («Погас луч неба, светлый гений», 1837).
    В 1821-1822 годах Норов совершил первое заграничное путешествие, посетив Германию, Францию, Италию и Сицилию. О путевых впечатлениях он рассказал в ряде очерков и стихотворений («Поездка в Овернь», «Литературный вечер в Риме», «Остров Нордерней.  Послание к Д. П. Глебову» и других), которые были напечатаны в различных русских периодических изданиях. Его первой книгой стало «Путешествие по Сицилии в 1822 году». В 1827 году А. С. Норов, будучи чиновником особых поручений при Министерстве внутренних дел, был прикомандировали к адмиралу Д.Н. Сенявину, с которым он совершил два заграничных плавания, в частности, участвовал в проведении русских судов до Портсмута и обратно. В результате в "Литературной газете" Дельвига-Пушкина в 1830 году появился очерк Авраама Сергеевича «Прогулка в окрестностях Лондона» с указанием: «Виндзор, августа 20, 1827».
    8 августа 1834 года А. С. Норов увольняется в отпуск и отправляется как паломник - исследователь в путешествие на Святую землю «для поклонения Гробу Господню». Он побывал в Палестине, Малой Азии и Иерусалиме. При изучении и описании Палестины и окружающих её стран Авраам Сергеевич руководствовался, с одной стороны, текстом Библии, с другой, принимал во внимание открытия историков и филологов-ориенталистов. Он старался избегать описания тех мест, о которых уже имелись сведения других путешественников. Авраам Сергеевич одним из первых россиян совершил путешествие по Египту и Нубии, на парусном судне он проплыл весь Нил и исследовал Северный Судан. Учёный собрал ценный материал по географии, экономике и культуре населяющих эти страны народов. Результатом этого путешествия, длившегося с 1834 по 1836 год, стали книги «Путешествие по Святой Земле в 1835 году» (1838) и «Путешествие по Египту и Нубии в 1834—1835 гг.» (1840).
    Благодаря А. Норову коллекция Эрмитажа пополнилась бесценной статуей Мут-Сохмет (XV век до нашей эры). Порфировое изваяние, полузасыпанное песком, Авраам Сергеевич обнаружил в Карнаке среди развалин небольшого храма и выкупил его у местных властей.
    Описания всех путешествий А. С. Норова были собраны в 5 томов и изданы в 1854 году в Санкт-Петербурге.
    В 1861 году Норов предпринял второе путешествие на вятую землю, которое он описал в книге «Иерусалим и Синай. Записки второго путешествия на Восток», вышедшей в свет в 1879 году, уже после смерти автора, под редакцией В.Н. Хитрово. Норов иллюстрировал свои дневники рисунками. Так, например, во время второго путешествия на Святую землю, находясь в Александрии, он копировал в катакомбах фрески подземной христианской церкви.    
    Авраам Сергеевич Норов умер 23 января 1869 года. Похоронен в Голицынской церкви во имя архистратига Михаила Сергиевой Приморской пустыни в Санкт-Петербурге.
    Жена — Варвара Егоровна Панина (7 июля 1814 - 21 апреля 1860) — дочь капитан-лейтенанта флота Е. А. Панина. У Норовых было трое детей, однако они умерли в младенчестве: Сергей (1837-1840), Георгий (1839-1841), Татьяна (1841-1841).
       
         «Путешествие по Сицилии в 1822 году» (ч. 1-2., СПб., 1828)
         «Путешествие по Святой земле в 1835 году» (1838)
         «Путешествие по Египту и Нубии в 1834—1835 гг.» (СПб., 1840)
         «Путешествие к семи церквам, упоминаемым в Апокалипсисе» (СПб., 1847)
         «Защита Синайской рукописи Библии от нападений отца Архимандрита Порфирия Успенского», (СПб., 1863)
         «Война и мир (1805—1812). С исторической точки зрения и по воспоминаниям современника. По поводу сочинения графа Л. Н. Толстого Война и мир» / из № 11-го Военного сборника (СПб., 1868)
         «Иерусалим и Синай. Записки второго путешествия на Восток» (СПб., 1879)